2023-2024学年下学期期末_含答案

2023-2024学年下学期期末试卷（A）

一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）

1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是

   A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.
   B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.
   C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.
   D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.

   解：

   B

   $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}$

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2. 下列哪个数不是模 11 的原根？

   A. 7
   B. 6
   C. 4
   D. 2

   解：

   C

   简单验证即可

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3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是

   A. 6
   B. 3
   C. 2
   D. 1

   解：

   B

   简单计算即可

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4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是

   A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.
   B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.
   C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.
   D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.

   解：

   D

   例如 $a - b = 3, a + b = 5, c = 15$

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5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为

   A. 16
   B. 28
   C. 39
   D. 40

   解：

   A

   $\varphi(40) = 16$

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6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$

   A. 136
   B. 82
   C. 5576
   D. 11152

   解：

   C

   因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$

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7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是

   A. $n(n^2 + 1)$
   B. $n(n^2 - 1)$
   C. $n(n + 1)$
   D. $n(n - 1)$

   解：

   B

   $n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$，因子中必然存在2与3，故能被6整除

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8. 下列选项中正确的是

   A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。
   B. 1275 是 Carmichael 数。
   C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
   D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b)$.

   解：

   C

   简单验证即可

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9. 模 24 的一个简化剩余系为

   A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$
   B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$
   C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
   D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$

   解：

   C

   由定义验证即可

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10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？

    A. 35
    B. 36
    C. 37
    D. 38

    解：

    A

    计算勒让德符号即可

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二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.

   解：

   2

   $13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$

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2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.

   解：

   4

   因为 $(3, 11) = 1$，故 $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$，则 $3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}$

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3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.

   解：

   $x \equiv 7 \pmod{21}$

   先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 $17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}$，再变形原方程为 $5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}$，即 $x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}$

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4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.

   解：

   $s = 47, t = -18, (a,b) = 3$

   进行exgcd即可，算法参见教材第一章

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5. 下面的方程组的解为 ________.

   $$\begin{cases} 3x + 5y \equiv 38 \pmod{47}\\ x - y \equiv 10 \pmod{47} \end{cases}$$
   解：

   $x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$

   变形后解一元一次同余方程即可

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6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.

   解：

   -1

   简单计算勒让德符号

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7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.

   解：

   $x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$

   做法同3，注意多解

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8. 模 29 的最小正原根为 ________.

   解：

   2

   简单检验计算即可

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9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.

   解：

   2

   做法同2

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10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。

    解：

    0

    计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可

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三、计算题（共 25 分）

1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）

   模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：

   	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   0		40	26	15	12	22	1	39	38	30
   1	8	3	27	31	25	37	24	33	16	9
   2	34	14	29	36	13	4	17	5	11	7
   3	23	28	10	18	19	21	2	32	35	6
   4	20

   解：

   $\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$
   $\therefore\text{方程有5个解}$
   $x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
   查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
   令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$
   则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
   即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
   则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$
   化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$
   故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$
   查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$

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2. 计算 Legendre 符号（10 分）

   1. $\left( \frac{33}{317} \right)$
   2. $\left( \frac{286}{563} \right)$
   解：

   勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1

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四、证明题（25 分）

1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）

   证明：

   要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$

   一种常见的思路：
   显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$
   所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证

   另一种可能性：
   尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证

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2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)

   证明：

   显然p不为2

   $\because p|n^4+1$
   $\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$
   $\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
   $\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$

   由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余
   $\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$

   又 $\because (n,p)=1$
   $\therefore(\frac{2}{p})=1$
   $\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$

   类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$
   分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证