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2025-2026学年上学期前计算机科学拔尖基地遴选笔试

一、选择题

信息

选择题共10道 未展示部分是高考数学排列组合的内容,并且难度低于全国卷高考

  1. 有170多人参加人才培训,其中党员比非党员多三倍,党员中有百分之十的人会分配到包括甲在内的12个队伍中,且每个队伍至少一人。
    问:甲队伍中有两个人的概率的范围?

    答案

  2. 六人参加面试,并满足以下条件:

    • 录取乙 当且仅当 录取丙
    • 甲、戊、己 中恰有两人被录取
    • 丁 和 丙 恰有一人被录取
    • 丁 和 甲 恰有一人被录取
    • 甲 和 乙 至少一人被录取

    问:最终录取了多少人?

    答案

    设甲、乙、丙、丁、戊、己分别为 a,b,c,d,e,f{0,1}\text{设甲、乙、丙、丁、戊、己分别为 } a, b, c, d, e, f \in \{0,1\}\text{,}\\ 其中 1 表示被录取,0 表示未被录取。给定条件等价于:\text{其中 } 1 \text{ 表示被录取,} 0 \text{ 表示未被录取。给定条件等价于:}

    {b=c(1)a+e+f=2(2)d+c=1(3)d+a=1(4)a+b1(5)\begin{cases} b = c & \text{(1)} \\ a + e + f = 2 & \text{(2)} \\ d + c = 1 & \text{(3)} \\ d + a = 1 & \text{(4)} \\ a + b \geq 1 & \text{(5)} \end{cases}

    由 (3) 和 (4) 可得:d+c=1,d+a=1    c=a.\text{由 (3) 和 (4) 可得:} d + c = 1,\quad d + a = 1 \implies c = a. \\ 结合 (1),得:a=b=c.\text{结合 (1),得:}a = b = c. \\ 代入 (5):a+b1    2a1.\text{代入 (5):} a + b \geq 1 \implies 2a \geq 1. \\ 由于 a{0,1}, 故 a=1, 进而 b=c=1.\text{由于 } a \in \{0,1\},\text{ 故 } a = 1, \text{ 进而 } b = c = 1. \\ 由 (4): d+a=1    d+1=1    d=0.\text{由 (4): } d + a = 1 \implies d + 1 = 1 \implies d = 0. \\ 由 (2): a+e+f=2    1+e+f=2    e+f=1.\text{由 (2): } a + e + f = 2 \implies 1 + e + f = 2 \implies e + f = 1. \\ 即 e 和 f 中恰有一个为 1.\text{即 } e \text{ 和 } f \text{ 中恰有一个为 } 1. \\ 综上,被录取者为 a=1, b=1, c=1, e+f=1    共 4 人被录取。\text{综上,被录取者为 } a = 1,\ b = 1,\ c = 1,\ e + f = 1 \implies \text{共 } 4 \text{ 人被录取。}


  3. (待定)某校食堂发生一起食物中毒案件,现有四人口供:

    • 甲:这起事件是由学校食物不合格引起的
    • 乙:如果这起事件是由学校食物不合格引起的,那么学校的食物监管出现问题
    • 丙:学校食堂食物不合格,但学校的食物监管没有出现问题
    • 丁:学校食堂食物合格,但学校食物监管有问题

    以上四人中只有一人的话是真的。

    选项:

    A. 乙为真,但不存在食物监管问题
    B. 乙为真,学校的食物监管有问题
    C. 甲为真
    D. 丁为真

    答案

二、填空题

  1. 一个小猴子边上有100根香蕉,它要走过50米才能到家,每次最多搬50根香蕉(多了就被压死),每走1米就要吃掉一根。
    问:它最多能把多少根香蕉搬到家里?

    答案

  2. 8个乒乓球,其中一个较重,有一个天平秤。
    问:至少几次能够找出重的那个乒乓球?

    答案

    二分法

    1. 分为 4 个的两组, 找出重的那组
    2. 分为 2 个的两组, 找出重的那组
    3. 两个比较, 拿出重的

  3. 25匹马,5条跑道,找最快的3匹马,需要跑几次?

    答案

  4. 有2个鸡蛋,从100层楼上往下扔,测试鸡蛋硬度。 若鸡蛋在第 n1n-1 层不碎,在第 nn 层碎,则临界点为 nn 层。
    问:在最坏情况下,最小的尝试次数是多少?

    答案

  5. 小明是某市集团总裁,每天坐火车回家,司机准时到站接他。 有一天司机晚了30分钟出发,小明没等到车,便步行回家。途中遇到司机的车,立即上车返回家中。到家后,妻子说:“你足足比平常晚到了22分钟。”
    问:小明步行了多久?

    答案

三、简答题

  1. 有一枚不均匀的硬币,掷出正面朝上的概率为 70%,反面为 30%。如何高效地构造一个概率为 50% 的公平事件?

    答案

  2. 掷一枚均匀的骰子,连续掷出两个6点时,期望的尝试次数是多少?

    答案

  3. 随机取三段长度均小于1的线段,这三条线段能组成一个三角形的概率是多少?

    答案