2024-2025学年上学期期末_含答案

说明

本学期（2024年秋季学期）的期末试卷难度相当低，本人评价为有手就行，故没有特意记忆所有题目，而是挑出一些有代表性的题目以供参考

我们这里再提供一道填空题，一道选择题，以显示这张卷子的诚意

1. 设 $G$ 是一个群，对于 $\forall a,b \in G$， $a*b=b*a$， 则 $G$ 是 ____ 群

2. 设 $R$ 是一个环，对于 $\forall a,b \in R$， $a+b=b+a$， 则 $R$ 是？
   A. 整环 B. 交换环 C. 含幺环 D. 环

很大程度上，老师的出题和给分是十分宽容的，请大家好好学习这门课程，数学并不是妖魔鬼怪！

题目

1. 设 $G=\{a,b,c,e\}$ 是一个群， $H=\{a,e\}$ 是 $G$ 的子群，写出 $H$ 的所有左陪集

   解：

   将 $G$ 中元素 $g$ 各个代入，计算 $gH$

   • $g = e$： $eH = H$

   • $g = a$： $aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}$，由于 $G$ 是群，且 $H$ 是子群，所以 $a^2$ 必须是 $G$ 中元素。 故 $a^2 = e$，则： $aH = \{ e, a \} = H$

   • $g = b$： $bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}$， 假设 $ba = c$ ，则： $bH = \{ c, b \}$

   • $g = c$： $cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}$， 假设 $ca = b$ ，则： $cH = \{ b, c \} = bH$

   综上所述，H的所有子陪集是 $\{ e, a \}, \{ b, c \}$

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2. 写出 $R=Z/6Z$ 的所有零因子

   解：

   $R=Z/6Z \cong Z_6$，我们只要考虑 $Z_6$ 上的性质： 显然有 $2\times3 \equiv 0 \pmod{6}, 4\times3 \equiv 0 \pmod{6}$，所以零因子是2，3，4

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3. 定义在有限域 $F_{17}$ 上的椭圆曲线 $E: x^3 + 2x + 3 = y^2$ 上有点 $P(2, 7), Q(11, 8)$ , 计算 $P+Q$ , $2P$

   解：

   直接计算即可，我们这里直接给出答案： $P+Q = (8, 15)$ , $2P = (14, 15)$

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4. 求域 $F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)$的一个生成元 $g(x)$，并用 $g(x)$ 的幂表示 $F_{16}$ 中的所有非零元

   解：

   这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 $x$ :

   $x^n$	$x^n\pmod{x^4+x^3+1}$
   $x^0$	$1$
   $x^1$	$x$
   $x^2$	$x^2$
   $x^3$	$x^3$
   $x^4$	$x^3 + 1$
   $x^5$	$x^3 + x + 1$
   $x^6$	$x^3 + x^2 + x + 1$
   $x^7$	$1 + x^2 + x$
   $x^8$	$x^2 + x + 1$
   $x^9$	$x^3 + x^2 + x$
   $x^{10}$	$x^3 + x^2 + x + 1$
   $x^{11}$	$x^3 + x + 1$
   $x^{12}$	$x^3 + 1$
   $x^{13}$	$x^3$
   $x^{14}$	$x^2$

   如上表，由 $x$ 生成的15个非零元素互不相等，所以 $x$ 确实是生成元，非零元的表示如表中所示

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5. 证明：有限环的特征一定不为0

   请参考课件Chap7.pdf中27-28页